Lineare Algebra Beispiele

$x + y + z = 12$ , $2 x - 3 y + 4 z = 4$ , $x + z = 2 y$

Schritt 1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + y + z = 12, 2 x - 3 y + 4 z = 4, x + z - 2 y = 0$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 2 & - 3 & 4 & 4 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot 1 & 4 - 2 \cdot 1 & 4 - 2 \cdot 12 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & - 5 & 2 & - 20 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & - 5 & 2 & - 20 \\ 1 - 1 & - 2 - 1 & 1 - 1 & 0 - 12 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & - 5 & 2 & - 20 \\ 0 & - 3 & 0 & - 12 \end{array}]$

Schritt 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 2 & - \frac{1}{5} \cdot - 20 \\ 0 & - 3 & 0 & - 12 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 4 \\ 0 & - 3 & 0 & - 12 \end{array}]$

Schritt 3.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 4 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 (- \frac{2}{5}) & - 12 + 3 \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 4 \\ 0 & 0 & - \frac{6}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{5}{6}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Schritt 3.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{5}{6}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 4 \\ - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} (- \frac{6}{5}) & - \frac{5}{6} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Schritt 3.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot 1 & 4 + \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Schritt 3.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 12 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 12 - 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 8$

$y = 4$

$z = 0$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(8, 4, 0)$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$